Translate

Senin, 26 November 2012

HOMOMORFISMA



Definisi:
(A,*) dan (B,.) adalah grup-grup. Suatu fungsi f:A®B disebut homomorfisma jika f(a1*a2) = f(a1).f(a2), untuk setiap a1,a2 Î A.

Contoh-contoh:
·              G=himpunan bilangan rasional dengan operasi +, G’=himpunan bilangan riil (tanpa 0) dengan operasi x. Pemetaan j:G®G’ didefinisikan sebagai j(x)=2x, untuk semua x Î G. Perhatikan bahwa j(a+b) = 2a+b = 2a  x 2b = j(a) x j(b), sehingga j adalah homomorfisma.
·              G adalah himpunan bilangan riil positif dengan operasi x. G’ adalah himpunan bilangan riil dengan operasi +. Pemetaan j: G ® G’ sebagai berikut: j(x) = log x, untuk setiap x Î G. Pemetaan: j(ab) = log ab = log a + log b = j(a) + j(b), sehingga j adalah homomorfisma.

Definisi:
·              Homomorfisma onto disebut epimorfisma. Onto artinya: untuk setiap g’ Î G’, ada g Î G, sedemikian sehingga j(g) = g’.
·              Homomorfisma satu-satu disebut monomorfisma. Satu-satu artinya: jika j(x) = j(y), maka x=y.
·              Homomorfisma satu-satu dan onto disebut isomorfisma.
·              Homomorfisma j: G ® G (dari grup ke dalam dirinya sendiri) disebut endomorfisma.
·              Suatu endomorfisma yang bijektif disebut automorfisma.

Contoh:
·              Jika ada 2 buah grup yang memiliki struktur yang sama, misalnya grup multiplikatif {e=1, a= -1, b=i, c= -i} dan grup matriks:
dengan operasi perkalian matriks. Keduanya memiliki daftar Cayley yang identik. Perhatikan daftar Cayley berikut.

x
E
A
B
C

x
e
a
b
c
E
E
A
B
C

e
e
a
b
c
A
A
E
C
B

a
a
e
c
b
B
B
C
A
E

b
b
c
a
e
C
C
B
E
A

c
c
b
e
a
Kedua grup memiliki daftar Cayley yang identik, sehingga dikatakan kedua grup isomorf.

·              B = {0,1,2} dengan operasi + modulo 3 dan G={S3=I, S, S2} dengan operasi rotasi segitiga sama sisi terhadap pusat dengan sudut putar 120 derajat adalah grup-grup. Definisikan: j(0)=I=S3, j(1) = S, j(2)=S2. Perhatikanlah bahwa j adalah isomorfisma.
·              Ambil grup aditif bilangan bulat (Z,+). Buat pemetaan j:Z®Z sebagai berikut: j(x)=2x. Maka j(x+y)=2(x+y)= 2x+2y=j(x)+j(y), untuk setiap x,yÎZ. Bentuk j merupakan suatu endomorfisma.
·              Ambil grup (R*,x), yakni himpunan semua bilangan riil taknol dengan operasi perkalian. Juga grup S={-1,1} dengan operasi perkalian. Definisikan pemetaan: j:R*®S sebagai berikut: j(x)=1 bila x>0 dan j(x)=-1 bila x<0. Maka untuk setiap x,yÎR* berlaku j(xy)=j(x).j(y). Juga j adalah onto, sehingga j adalah epimorfisma.
·              G adalah himpunan bilangan riil positif dengan operasi x. G’ adalah himpunan bilangan riil dengan operasi +. Pemetaan j: G ® G’ sebagai berikut: j(x) = log x, untuk setiap x Î G. Pemetaan: j(ab) = log ab = log a + log b = j(a) + j(b), sehingga j adalah homomorfisma. Karena j injektif, maka j adalah monomorfisma.
·              G adalah grup bilangan bulat dengan operasi +. Pemetaan j:G®G didefinisikan sebagai j(x)=-x. Apakah j automorfisma? Jelaskan.

Definisi:
Jika f adalah homomorfisma dari G ke G’, maka himpunan semua elemen G yang dipetakan oleh f (onto) ke elemen e’ÎG’ disebut kernel dari homomorfisma f.

Teorema:
Misalkan G dan G’ adalah dua grup, e dan e’ masing-masing adalah unsur kesatuannya. Jika f suatu homomorfisma dari G ke G’, maka:
·              f(e)=e’
·              f(x-1)=[f(x)]-1 untuk setiap xÎG

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Powered By Blogger