Penyelesaian No 1

Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.
Jawaban:
P = {3x|x ∈ Z }
Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a+b ∈  P.
   Perhatikan :
   a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y)
   = (x+y) + (x+y) + (x+y)
   = 3(x+y)
   Karena x+y ∈  Z, maka a+b ∈  P
2. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a+b = b+a
   Perhatikan:
   a+b = 3x + 3y = 3(x+y)
   = 3(y+    x)
   = 3y + 3x
   = b + a
3. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c)
   Perhatikan:
   a+(b+c) = 3x + (3y + 3z)
   = 3x + 3(y+z)
   =3(x+ (y+z))
   = 3((x+y) + z)
   = 3(x+y) + 3z
   = (3x + 3y) + 3z
   = (a+b) + c
4. Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P.
   Ambil sebarang a = 3x  P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P.
   Perhatikan:
   a + 0 = 3x + 3.0
   = 3(x+0)
   = 3x
   = a
   Ini berarti 0 unsur nol dalam P.
5. Ambil sebarang a = 3x ∈  P. Pilih b = 3(-x) ∈  P. Akan ditunjukkan –(3x) = 3(-x)
   Perhatikan:
   3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x))
   = 3.0
   = 0
   Jadi –(3x) = 3(-x)

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a.b ∈  P.
   Perhatikan:
   a .b = 3x . 3y
   = 3. 3xy
   = 3(3xy)
   Karena 3xy ∈  Z, maka a.b ∈  P.
2. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).c
   Perhatikan:
   a.(b.c) = 3x(3y . 3z)
   = 3x(3(3yz))
   = 3.3.3(x(yz))
   = 3.3.3((xy)z)
   = 3.3(xy) . 3z
   = (3x . 3y). 3z
   = (a.b). c

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.

1. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan (b+c)a = b.a + c.a
   Perhatikan:
   a(b+c) = 3x(3y + 3z)
   = 3x(3(y + z))
   = 3.3(x(y + z))
   = 3.3(xy + xz)
   = 3.3xy + 3.3xz
   = a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x
   = ((y+z)3). 3x
   = ((y+z)x)3.3
   = (yx + zx)3.3
   = 3.3yx + 3.3zx
   = 3y.3x + 3z.3x
   = b.a + c.a

Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a.b = b.a
   Perhatikan:
   a .b = 3x. 3y
   = 3.3xy
   = 3.3yx
   = 3y. 3x
   = b.a

Jadi P adalah gelanggang atau ring komutatif.