Penyelesaian No 8

Misalkan P = {genap, ganjil} dan P ⊆ Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan “genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif.
Penyelesaian:
Tabel
Daftar Cayley (P, +) dan (P, .)

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif bila memenuhi :
1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)
-          Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil ∈   P
genap + genap = genap
genap + ganjil = ganjil
ganjil + ganjil = genap
Karena hasilnya genap dan ganjil ∈  P, maka tertutup terhadap P
-          Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈  P
(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil
a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil
Maka P assosiatif
-          Adanya unsur satuan atau identitas

• Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈  P, pilih genap ∈  P,

sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap

• Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈  P, pilih genap ∈  P,

sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap
maka P ada unsur satuan atau identitas
-          Adanya unsur balikan atau invers

• Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈  P, pilih genap ∈  P,
  sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)^-1 = genap

• Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈  P, pilih ganjil ∈  P,
  sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)^-1 = ganjil

maka P ada unsur balikan atau invers
-          Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈  P
(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil
Sehingga :
(a + b) = (b + a) = ganjil
maka P komutatif
Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +).
2. Monoid terhadap perkalian (P, .)
-          Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil ∈ P
genap . ganjil = genap
genap . genap = genap
ganjil . ganjil = ganjil
karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P
-          Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P
(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap
a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap
Sehingga :
(a . b) . c = a . (b . c) = genap
maka P assosiatif
-          Adanya unsur satuan atau identitas

• Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,
  sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil

• Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P,
  sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil

maka P ada unsur satuan atau identitas
-          Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈ P
(a . b) = (genap . ganjil) = genap
(b . a) = (ganjil . genap) = genap
Sehingga :
(a . b) = (b . a) = genap
maka P komutatif
Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif  terhadap perkalian (P, .).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P
a.(b + c) = genap . (ganjil + genap)
= genap.(ganjil)
= genap
(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)
= genap + genap
= genap
maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap
(a + b).c = (genap + ganjil). Genap
= (ganjil). Genap
= genap
(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)
= genap + genap
= genap
maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap
Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+, .).